κυρτός

Όρος που χρησιμοποιείται για τον χαρακτηρισμό ορισμένου είδους σχημάτων, στη συνήθη γεωμετρία (κ. πολύγωνο, κ. πολύεδρο κλπ.) αλλά και γενικότερα στην τοπολογία και στην ανάλυση (κ. χώρος, κ. συνάρτηση κ.ά.). κυρτή ακολουθία. Κάθε ακολουθία πραγματικών αριθμών α₁, α₂, …, α_ν, … με την ιδιότητα 2α_i+1 ≤ (α_i + α_i+2): (σ) για κάθε i = 1,2,3,… Ειδικά, αν η ακολουθία είναι πεπερασμένη α₁, α₂,…, α_ν, τότε ονομάζεται κ., αν και μόνο αν η (σ) ισχύει για κάθε: i = 1,2,3,..., ν – 2. Αν στη (σ) το ≤ αντικατασταθεί με το ≥ τότε η ακολουθία ονομάζεται κοίλη. Η ακολουθία, για παράδειγμα, 1, 2, 2², ..., 2^ν (γεωμετρική πρόοδος) είναι κ. (επειδή ισχύει 2α_i+1 ≤ α_i + α_i+2 για κάθε i = 1,2,..., όπως μπορεί αμέσως να διαπιστωθεί). κυρτός γραμμικός συνδυασμός. Αν x_l, x₂, ..., x_ν είναι μιγαδικοί αριθμοί και λ₁, λ₂, ..., λ_ν πραγματικοί, μη αρνητικοί αριθμοί, όπου λ₁ + λ₂ + ... + λ_ν = 1, τότε η παράσταση: λ₁x₁ + λ₂x₂ + ... + λ_νx_ν ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός των x_l, x₂, ..., x_ν. κυρτή επιφάνεια. Κάθε επιφάνεια της οποίας κάθε επίπεδη τομή είναι κ. καμπύλη. Η σφαιρική επιφάνεια, για παράδειγμα, είναι κ. κυρτή καμπύλη. Κάθε καμπύλη του επιπέδου τέτοια ώστε κάθε ευθεία που την τέμνει να την τέμνει σε δύο ακριβώς σημεία. Η έλλειψη, για παράδειγμα, είναι κ. καμπύλη. κυρτό πολύγωνο. Κάθε επίπεδο πολύγωνο με την εξής ιδιότητα: αν τ είναι μια τυχαία πλευρά του και ε η ευθεία πάνωστην οποία βρίσκεται η πλευρά τ, τότε το πολύγωνο βρίσκεται στο ένα από τα δύο μέρη στα οποία χωρίζει η ε το επίπεδό του. Το τρίγωνο, για παράδειγμα, είναι ένα κ. πολύγωνο. κυρτό πολύεδρο. Κάθε πολύεδρο με την εξής ιδιότητα: αν ε είναι μια τυχαία έδρα του και Ε το επίπεδο πάνω στο οποίο βρίσκεται η έδρα ε, τότε το πολύεδρο βρίσκεται στο ένα από τα δύο μέρη στα οποία το επίπεδο Ε χωρίζει τον χώρο. Η πυραμίδα, για παράδειγμα, είναι κ. πολύεδρο. κυρτή συνάρτηση. Έστω f μια πραγματική συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Η f ονομάζεται κ., αν και μόνο αν για κάθε x₁ και x₂ από το διάστημα Δ και για κάθε λ με 0 < λ < 1 ισχύει: (1): f(λx₁ + (1 – λ)x₂) ≤ λf(x₁) + (1 – λ)f(x₂). Κάθε κ. συνάρτηση με την παραπάνω έννοια είναι συνεχής. Αν, ειδικότερα, υπάρχει η 2η παράγωγος της f, f’(x), x∈Δ, τότε η f είναι κ., αν και μόνο αν για κάθε x∈Δ ισχύει: f’(x) ≥ 0. Αν στην (1) το ≤ γίνει ≥, τότε η συνάρτηση f ονομάζεται κοίλη. κυρτή συνάρτηση υπό την έννοια του Γένσεν. Κάθε πραγματική συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα Δ με την ιδιότητα: (l): για κάθε x₁, x₂ ∈ Δ. Η συνάρτηση, για παράδειγμα, -ημχ, 0 ≤ x ≤ π αποδεικνύεται ότι είναι κ. υπό την έννοια του Γένσεν. Με την προηγούμενη έννοια, μία κ. συνάρτηση δεν είναι αναγκαστικά συνεχής. Αν όμως επιπλέον είναι και φραγμένη, τότε αποδεικνύεται ότι είναι συνεχής. Αν στην (1) το ≤ γίνει ≥, τότε η συνάρτηση f ονομάζεται κοίλη υπό την έννοια του Γένσεν. κυρτό σύνολο. Ένα υποσύνολο Ε του επιπέδου (είτε του συνηθισμένου χώρου των τριών διαστάσεων) ονομάζεται κ., αν και μόνο αν το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα του κάθε δύο σημεία του Ε κείται (περιέχεται) στο σύνολο Ε. Γενικότερα, αν Ε είναι υποσύνολο ενός διανυσματικού χώρου V, τότε το σύνολο Ε ονομάζεται κ., αν και μόνο αν για κάθε δύο σημεία του x και y, το σημείο λx + (1-λ)y του χώρου S ανήκει στο σύνολο Ε για κάθε λ με 0 < λ < 1. Το σύνολο Ε ονομάζεται, ιδιαίτερα, τοπικώς κ., αν και μόνο αν για κάθε σημείο του x και για την κάθε περιοχή του, έστω U, υπάρχει περιοχή του, έστω U’, που περιέχεται στην U και (ως σύνολο) είναι κ.

* * *

-ή, -ό (AM κυρτός, -ή, -όν)

1. αυτός τού οποίου η επιφάνεια προεξέχει, καμπύλος («οὔσης [τῆς γῆς] κυρτῆς καὶ σφαιροειδοῡς», Αριστοτ.)

2. κεκαμμένος, λυγισμένος (α. «κυρτὴ ῤάβδος» β. «κυρτὸς τροχὸς τόρνῳ γραφόμενος», Ευρ.)

3. κυφός, καμπούρης, καμπουριασμένος (α. «τὼ δὲ οἱ ὤμω κυρτώ, ἐπὶ στῆθος συνοχωκότε»

Ομ. Ιλ.

β. «κυρτή κάμηλος», Βάβρ.)

νεοελλ.

1. αυτός που έχει κλίση προς τη μία πλευρά, πλάγιος, λοξός («κυρτά γράμματα»)

2. ανάκυρτος, φουσκωτός («κυρτός φακός»)

αρχ.

(για τα αιμοφόρα αγγεία) εξογκωμένος, φουσκωμένος («κυρτὸν ἰὸν κορυφοῡται, ἀποπτύει δ' ἁλὸς ἄχνην», Ομ. Ιλ.).

[ΕΤΥΜΟΛ. Η λ. εμφανίζει τη συνεσταλμένη βαθμίδα *(s)kr- (που εμφανίζεται με φωνήεν τής ποιότητας τού υ

πρβλ. και λ. κύρτος), ανάγεται δε στην ΙΕ ρίζα *(s)ker- «στρέφω, κάμπτω, κουλουριάζω» και συνδέεται με λατ. curvus «καμπύλος, κυρτός», λατ. cortina «καζάνι, κοίλωμα», ιρλδ. cor «περιστροφή, κύκλος», λιθουαν. kreīvas, αρχ. σλαβ. krivū «καμπύλος» και τη λ. κορώνη «το κυρτό άκρο τής πρύμνης». Το θ. τής λ. εμφανίζουν τα ανθρωπωνύμια Κύρτιος, Κύρτος.

ΠΑΡ. κυρτότης, κυρτώνω (κυρτώ)

αρχ.

κυρτιώ, κυρτώδης, κυρτών

αρχ.-μσν.

κυρταίνω

μσν.

κυρτώος.

ΣΥΝΘ. (Α' συνθετικό) κυρταύχην

αρχ.

κυρτοβατώ, κυρτοβόλος, κυρτοειδής

νεοελλ.

κυρτοπέλυκυς, κυρτόστυλος. (Β' συνθετικό) αμφίκυρτος, δίκυρτος, επίκυρτος, υπόκυρτος

αρχ.

ανάκυρτος, γονυκαμψεπίκυρτος, έγκυρτος, παλίγκυρτος, περίκυρτος, πρόκυρτος

νεοελλ.

επιπεδόκυρτος, κοιλόκυρτος].